Matematiska institutionen

Martin Herschend vandrar i algebrans värld

Martin Herschend (foto: privat)

Att forska i matematik är som att bestiga berg enligt många matematiker. De jämför det mödosamma arbetet att nå svaret till en olöst fråga med vandring uppför ett berg med toppen i sikte. Men Martin Herschend ser matematiken på ett annat sätt.

– Jag gillar när jag har en ny teori att utforska ungefär som man utforskar en ny stad. Man vandrar omkring där och får hela tiden nya intryck, säger Martin.

Trots att Martin idag drivs av upptäckarglädje var synen på matematik som en ny miljö inte det första som lockade honom till matematikämnet. När han började studera vid universitetet trodde han att han skulle fastna för fysik eftersom han kände att de frågor som fysiken försökte besvara var viktigast. Men efter en termins matematikstudier upplevde han att matematiken passade honom bäst.

– Filosofiskt kände jag mig mycket mer överens med den bild som målades upp på matematikkurserna. På den tiden hade jag ett behov av att saker skulle förklaras så att jag förstod vad de gick ut på. Jag letade efter något slags fundament för allting. Av den anledningen blev jag väldigt snabbt attraherad av matematiken. Det kändes bra att ägna mig åt en formell teori som byggdes upp systematiskt med alla detaljer.

Särskilt algebra fångade Martins intresse, men det ser han mest som en slump. Han tyckte att de algebrakurser han läste var roliga och när det blev dags att skriva examensarbete valde han därför att fördjupa sig i algebra. I sitt examensarbete lyckades han lösa tidigare olösta problem, vilket blev som ett smakprov på hur det skulle vara att forska i matematik.

– Jag hade inte någon riktig plan, men jag tyckte det var roligt och doktorandstudier var ett naturligt sätt att fortsätta göra mer.

Trots det något slumpmässiga valet är Martin nöjd med att han idag forskar i just algebra. Precis som andra matematikgrenar handlar också algebra om att lösa problem, men det sätt som algebraiker närmar sig problemen på är annorlunda, åtminstone i jämförelse med Uppsalas traditionellt stora paradgren analys.

– Det som kan fascinera många med analys är att den innehåller häftiga resultat. När man ska bevisa något i analys utgår man ofta ifrån en bevisidé, men detaljerna i bevisen kan bli lite tekniska. Men i algebra har jag upplevt att de tekniska detaljerna reder ut sig av sig själva när bevisidén väl är klar. Det handlar många gånger om att välja rätt synsätt, rätt språk, så faller saker och ting ut.

Är det en egenskap som är särskilt utmärkande för algebra?

– Det kanske är så med matematik överhuvudtaget egentligen. Men jag upplever att algebra har mer av det där, att man bygger upp en teori med terminologi och ganska många påståenden som kanske är lättbevisade men som tillsammans bildar en lång kedja som man sedan kan använda på ett kraftfullt sätt, säger Martin och fortsätter:

– Naturligtvis handlar allt om att lösa problem men man kan lösa problem genom att försöka välja en bra metod som passar till problemet eller så kan man försöka välja ett synsätt, ett ramverk. Jag upplever att algebra lite mer handlar om att välja synsätt.

Många matematiker säger att matematik är vackert. Tycker du också det?

– Ja, det tycker jag. När jag var student upplevde jag matematik som vackert och den skönheten verkade vara någon slags drivkraft även för andra som höll på med matematik. Och jag tyckte det var konstigt att vi själva inte reflekterade så mycket över det. För mig kändes det märkligt att ha ett ämne vars utveckling så starkt drivs av något som man inte intresserar sig för att förstå.

Har du någon uppfattning idag om vad det är som gör att matematiken upplevs som vacker?

– Jag tycker fortfarande att det känns outrett vad det där är för någonting. Det finns ju flera olika källor till skönhetsupplevelsen och man kan fråga sig på vilket sätt de hänger ihop. Ofta kan det vara någon matematisk sats. Den kan vara vacker för att slutsatsen är väldigt enkel att formulera men det är oklart varför det är sant. Då upplever man det som gäckande eller spännande.

Som Fermats sista sats?

– Ja, precis. Att det kan vara enkelt men ändå så svårt. Men det kan också vara ett bevis som är väldigt vackert. Till exempel om man vill bevisa någon likhet mellan två uttryck för heltal och bevisar den kombinatoriskt. Man säger alltså att båda formlerna är svaret på frågan hur många det finns av x. Om man sedan kommer fram till det ena genom att resonera på ett vis och till det andra genom att resonera på ett annat vis, då måste de vara lika. När man ser det första gången är det ett oväntat sätt att bevisa att två saker är lika. Dessutom har man berikat hela bilden. Det ger formlerna mer struktur i någon mening.

– Övergången från ovisshet till visshet, från när det verkar svårt till klarhet, den övergången är starkt kopplad till en estetisk upplevelse.

Matematik är inte bara vackert utan också ganska svårt, vilket kanske inte alltid är stärkande för självförtroendet. Hur förhåller du dig till det?

– Det har att göra med vilka förväntningar man har. Om man förväntar sig att förstå allting, att det ska vara lätt, då kan man bli besviken. Men varför ska man förvänta sig det? Om man i stället förväntar sig att det ska vara svårt, då blir det minsta lilla som man lyckas med något positivt. Och om man upplever att något är svårt men ändå försöker göra det, då tycker jag att man ska se det som ett tecken på att man utvecklas.

För närvarande forskar Martin i en algebrainriktning som kallas högdimensionell Auslander-Reiten-teori. Inriktningen startades på 1970-talet av matematikerna Idun Reiten från Trondheim och Maurice Auslander från Boston. Senare utvecklade den japanska matematikern Osamu Iyama vid Nagoya universitet en variant av teorin.

Efter att ha sett Iyamas föredrag på en konferens fick Martin en idé om hur han skulle utveckla sitt doktorandämne i den riktningen. När han var klar med sin doktorandutbildning bestämde han sig för att söka samarbete vilket ledde till att han åkte till Nagoya universitet och arbetade med Iyama i några år.

– Osamu Iyamas variant av teorin tar en viss typ av dimension i beaktande. När jag började arbeta med honom 2008 var teorin ganska välutvecklad men till skillnad från den vanliga Auslander-Reiten-teorin gick den inte att applicera i varje fall. Vad jag började med då var att hitta metoder för att konstruera exempel, för att se hur rik den här teorin är.

Hur rik är den?

– Nu finns det väldigt många fler exempel än när vi började. Från början skulle man kunna tänka sig att det går att beskriva alla exempel på något enhetligt sätt, men nu har vi så pass många exempel att det känns orimligt. Det är så pass rikt att det känns oöverskådligt. Det blir oöverskådligt om man vill nå en viss detaljrikedom.

– Vi håller fortfarande på med att utforska vilka typer av exempel som finns. Och på senare tid har det dykt upp exempel från algebraisk geometri från olika håll, så det gör jag också, jag försöker förstå och utveckla kopplingen till algebraisk geometri.

Samarbetar du fortfarande med Osamu Iyama?

– Ja, ganska mycket. Sedan arbetar jag med Steffen Oppermann från Trondheim. Steffen, Osamu och jag har en gemensam artikel och sedan skriver vi också en artikel med ytterligare en japan som heter Hiroyuki Minamoto. Jag har fortfarande ganska mycket samarbete med Japan.

De flesta av dagens matematiker verkar samarbeta med andra, men trots det lever myten om matematikern som en ensamvarg. Man läser om de gamla matematikernas individuella bedrifter och satserna är ofta uppkallade efter en person.

– Jag kan tänka mig att det var så förr i tiden därför att kommunikationen gick mycket långsammare. Det var svårare att samla människor med gemensamma intressen. Det kan ju finnas personer som bor i helt olika delar av världen och som är intresserade av samma problem. Och då var det kanske så förr, att de bevisade någonting och kommunicerade med den andra personen när beviset var klart. Men nu kan man direkt börja prata med någon som är intresserad av samma problem så det blir mycket lättare att göra det till ett samarbete.

Matematiken har växt väldigt mycket de senaste hundrafemtio åren.

– Ja, exploderat.

Var tar det stopp? Den mänskliga hjärnan är trots allt begränsad.

– Det verkar som om den stora begränsningen redan har infallit. Det blir mer och mer fragmenterat och var och en intresserar sig för en liten del av matematiken. Där verkar det som att den mänskliga kapacitetens begränsning har blivit en realitet i och med att det inte längre finns någon överblick.

Tror du att det någon gång blir möjligt att få en överblick?

– Eftersom väldigt många människor håller på med matematik kommer det att vara orimligt att det ska finnas en person som är lika bra som alla på allt. Man kan ha någon form av överblick, men det är specialisterna som har mycket mer detaljkännedom. På ett sätt kan man säga att en stor del av utvecklingen i matematik är att man ökar detaljrikedomen.

Alma Kirlic

2015-01-07

Fler intervjuer med forskare och lärare i matematik

Algebra

Algebra är en upplevelse för Veronica Crispin Quiñonez
Martin Herschend vandrar i algebrans värld

Analys

Gunnar Berg - studentfavoriten som gillar matematiska samtal
Anders Karlsson trivs bäst i samspelet
Kaj Nyström rör sig mellan två världar

Dynamiska system

Jordi-Lluís Figueras ser glädje i matematik
Denis Gaidashev vill lösa ett av världens viktigaste matematiska problem
Warwick Tucker vill besvara de omöjliga frågorna

Geometri och topologi

Tobias Ekholms nyckel till framgång
Upptäckarglädje driver ​Thomas Kragh

Logik

Matematiken är självklar för Inger Sigstam

Sannolikhetsteori

Cecilia Holmgren går till roten med matematiska träd
Svante Janson skapar ny matematik med hjälp av fantasin

Statistik

Rolf Larsson vill bidra till klimatforskningen

Tillämpad matematik

David Sumpter vill förstå världen med matematik